Giải các phương trình sau:1) \(\sin x - \sqrt 3 \c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chia cả 2 vế cho 2.

2) Chia cả 2 vế cho \({\cos ^2}x\)

Giải chi tiết:

\(\begin{gathered}  1)\,\,\sin x - \sqrt 3 \cos \left( {x + \pi } \right) = 2\sin 2x \hfill \\   \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin 2x \hfill \\   \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x \hfill \\   \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \sin 2x \hfill \\   \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 2x \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x + \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi  \hfill \\  x + \frac{\pi }{3} = \pi  - 2x + k2\pi  \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x = \frac{\pi }{3} + k2\pi  \hfill \\  x = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered}  \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \hfill \\ \end{gathered} \)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}|k \in Z} \right\}\).

\(2)\,\,5{\sin ^2}x - 2\sin 2x + 7{\cos ^2}x = 4 \Leftrightarrow 5{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 7{\cos ^2}x = 4\)

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow 5 = 4\) (vô nghiệm)

TH2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)

Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{gathered}  5{\tan ^2}x - 4\tan x + 7 = 4\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \hfill \\   \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \tan x = 1 \hfill \\  \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = \frac{\pi }{4} + k\pi  \hfill \\  x = \arctan 3 + k\pi  \hfill \\ \end{gathered}  \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\arctan 3 + k\pi |k \in Z} \right\}\).