Để tặng thưởng cho các học sinh đạt thành tích tro...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi: x là số học sinh đạt giải nhất (\(x\in N\))

        y là số học sinh đạt giải nhì (\(y\in N{{;}^{{}}}y\ge 1\))

        z là số học sinh đạt giải khuyến khích (\(z\in N\))

Tổng giá trị tiền thưởng dùng để trao cho 10 giải ba là: 10. 100 000 = 1 000 000 (đồng) Tổng giá trị tiền thưởng dùng để trao cho các giải còn lại (nhất, nhì, khuyến khích) là:

2 700 000 – 1 000 000 = 1 700 000 (đồng)

Ta có phương trình: 150 000x + 130 000y + 50 000z = 1 700 000 \(\Leftrightarrow 15x+13y+5z=170\) (1) Mặt khác, có tất cả 30 phần thưởng trong đó có 10 phần thưởng để trao cho giải ba còn lại: 30 – 10 = 20 phần thưởng dùng để trao cho các giải còn lại (nhất, nhì, khuyến khích), ta có phương trình:

x + y + z = 20  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}15x + 13y + 5z = 170\\x + y + z = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15x + 13y + 5z = 170\left( 3 \right)\\5x + 5y + 5z = 100\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (3) – (4) vế cho vế ta được: 10x + 8y = 70 \(\Leftrightarrow 5x+4y=35\Rightarrow 4y\le 35\)(do \(x\in N\Rightarrow 5x\ge 0\)) Mà:  \(y\in N\Rightarrow y\le 8\)

v Đến đây các em có thể giải theo hai cách như sau:

Cách 1 :

Ta có: \(5x+4y=35\Leftrightarrow 4y=35-5x=5\left( 7-x \right)\). Do \(5\left( 7-x \right)\) là bội của 5 \(\Rightarrow 4y\vdots 5\Leftrightarrow y\vdots 5\) Mà \(1\le y\le 8\) \(\Rightarrow y=5\) Với:  y = 5 \(\Rightarrow 5x+4.5=35\Leftrightarrow 5x=15\Leftrightarrow x={{3}^{{}}}\left( t/m \right)\)và \(z=20-5-3=12\left( t/m \right)\)

Cách 2:

Ta có: \(5x+4y=35\Leftrightarrow x=\frac{35-4y}{5}\). Với \(1\le y\le 8\) và \(x;y\in N\) Với số giá trị ít (dưới 10 giái trị), ta có thể kẻ bảng như sau:

Với x = 3, y = 5 \(\Rightarrow z=20-5-3=12\) (t/m đk)

      Vậy: Nhà trường đã trao 3 giải nhất, 5 giải nhì và  12 giải khuyến khích.