Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng của \(y\) v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ta chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn \(x\) với tham số là \(y\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm suy ra GTNN và GTLN của \(y\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn \(x\) với tham số là \(y\) ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + xy - 3x - 4y + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x\left( {y - 3} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x\left( {y - 3} \right) + {\left( {y - 2} \right)^2} = 0.\end{array}\)

Để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) có nghiệm thì cần phương trình \({{x}^{2}}+x\left( y-3 \right)+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=0\) có nghiệm.

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}{\kern 1pt} \,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {y - 3} \right)^2} - 4{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {y - 3} \right) - 2\left( {y - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {y - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right)} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} \right)\left( {3y - 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {3y - 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y - \frac{7}{3}} \right) \le 0.\end{array}\)

Do \(y-1>y-\frac{7}{3}\) nên ta có  \(\left( y-1 \right)\left( y-\frac{7}{3} \right)\le 0\Leftrightarrow 1\le y\le \frac{7}{3}.\)

Với \(y=1\) thì phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) trở thành

\({{x}^{2}}+{{1}^{2}}+x.1-3x-4.1+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) là \(1\) đạt được tại \(x=1.\)

Với \(y=\frac{7}{3}\) thì phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) trở thành

\(\begin{align} & \,\,\,\,{{x}^{2}}+{{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}+x.\frac{7}{3}-3x-4.\frac{7}{3}+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+\left[ {{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}-4.\frac{7}{3}+4 \right]=0 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) là \(\frac{7}{3}\) đạt được tại \(x=\frac{1}{3}.\)

Chọn đáp án C.