Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh H, G, O thẳng hàng mà tìm mối tỉ số \({{GO} \over {GH}}\)

Giải chi tiết:

Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tam đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC.

Gọi M là trung điểm của BC, kẻ đường kính BK.

Xét đường tròn ngoại tiếp tâm O có \(\widehat {BCK}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {BCK} = {90^0} \Rightarrow BC \bot CK\)

Mà \(AH \bot BC \Rightarrow AH//CK\)

Tương tự ta chứng minh được \(AK//CH\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác AHCK là hình bình hành \( \Rightarrow AH = CK\)

Có OM là đường trung bình của tam giác BCK \( \Rightarrow OM//CK//AH\) và \(OM = {1 \over 2}CK = {1 \over 2}AH\).

Gọi \(G = AM \cap OH\) ta dễ thấy

\( \Rightarrow {{AG} \over {MG}} = {{AH} \over {OM}} = 2 = {{HG} \over {OG}}\), mà AM là trung tuyến của tam giác ABC \( \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC. Vậy H, G, O thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC và \({{HG} \over {OG}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {GO}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \).

\( \Rightarrow {V_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}}\left( H \right) = O\).

Chọn C.