Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({{\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng chỉ chứa biến cos4x, sử dụn các công thức nhân đôi, hạ bậc, hằng đẳng thức.

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}4x={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}4x \\  =1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}4x=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}+{{\cos }^{2}}4x={{\cos }^{2}}4x+\frac{\cos 4x}{4}+\frac{3}{4}=m \\ \end{align}\)

Đặt \(t=\cos 4x,\,\,t\in \left[ -1;1 \right]\) ta có \(f\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}=m\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\left( t\in \left[ -1;1 \right] \right)\)

BBT:

*) TH1 : Phương trình (1) có 1 nghiệm \(\Rightarrow m=\frac{47}{64}\) hoặc \(\frac{3}{2}<m\le 2\)

\(\Rightarrow t={{x}_{0}}\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow \cos 4x={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{4}\arccos {{x}_{0}}+\frac{k\pi }{2}\)

Với chu kì \(\frac{\pi }{2}\) thì nghiệm \(x=\pm \frac{1}{4}\arccos {{x}_{0}}+\frac{k\pi }{2}\) có tối đa 2 nghiệm thuộc \(\left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right]\) , loại.

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow \frac{47}{64}<m\le \frac{3}{2}\). Đương nhiên TH phương trình (1) vô nghiệm ta không cần xét đến, vì ta cần tìm điều kiện để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thuộc \(\left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right]\)

Chọn B.