Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng và tổng cấp số cộng.

Giải chi tiết:

 Điều kiện :\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} > 0\\
{u_9} + 8 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 4d > 0\\
{u_1} + 8d + 8 > 0
\end{array} \right..\)

Ta có \({{u}_{n}}={{u}_{n\,-\,1}}+6,\,\,\forall n\ge 2\)\(\Rightarrow \,\,\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=6.\)

Lại có : \({{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{{{u}_{9}}+8}=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{2}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right) \right]=11\) \(\Leftrightarrow {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+4d \right)\left( {{u}_{1}}+8d+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+24 \right)\left( {{u}_{1}}+56 \right)=2048\) \(\Leftrightarrow u_{1}^{2}+80{{u}_{1}}-704=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{u}_{1}}=8\ \ \left( tm \right) \\ & {{u}_{1}}=-88\ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right..\)

Do đó \({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\,\,...\,\,+{{u}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=\frac{n\left( 16+6\left( n-1 \right) \right)}{2}=3{{n}^{2}}+5n.\)

Vậy \({{S}_{n}}\ge 20172018\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}+5n-20172018\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n\ge 2592,234 \\ & n\le -2593,9\ \ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{n}_{\min }}=2593.\)

Chọn C