Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kín...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Vẽ  đường kính CE của đường tròn (O). Chứng minh AB = DE rồi đánh giá \({\left( {AB + CD} \right)^2}\) đạt GTLN dựa vào bđt Cô-si, từ đó suy ra điều kiện thỏa mãn bài toán.

Giải chi tiết:

Vẽ  đường kính CE của đường tròn  (O)

Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\,\widehat {EDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường kính CE ).

Từ đó ta có \(AE \bot AC.\). Mặt khác theo giả thiết  

Kéo theo AE//BD Vậy AEDB là hình thang.

Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.

Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân).

Từ đó ta có\(A{B^2} + C{D^2} = D{E^2} + D{C^2} = E{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\)(do\(\Delta EDC\) vuông tại D)  

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( {A{B^2},B{D^2}} \right)\) ta có

\(A{B^2} + B{D^2} \ge 2AB.CD \Rightarrow 2\left( {A{B^2} + B{D^2}} \right) \ge A{B^2} + B{D^2} + 2AB.CD = {\left( {AB + CD} \right)^2}.\) Kéo theo \({\left( {AB + CD} \right)^2} \le 2\left( {4{a^2}} \right) = 8{a^2} \Rightarrow AB + CD \le 2\sqrt 2 a.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  AB = CD

Xét tam giác \(\Delta ABI,\,\,\Delta DCI\) có AB = CD,\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD,\(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung  

Do đó \(\Delta ABI = \Delta DCI\left( {g.c.g} \right)\) Kéo theo \(AI = ID,\,IB = IC.\) Suy ra \(AC = AI + IC = ID + IB = BD.\)

Chọn đáp án B.