Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tia phân giác của hai góc kề bù để chứng minh \(\widehat {MON} = {90^0}\).

Dùng trường hợp đồng dạng góc – góc để chứng minh \(\Delta MON \sim \Delta APB\).

Giải chi tiết:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

\(OM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AOP}\) và \(ON\) là tia phân giác của góc \(\widehat {BOP}.\) Do đó \(\widehat {MOA} = \widehat {MOP},\,\,\widehat {PON} = \widehat {BON}\,\,\left( 1 \right).\)

Ta lại có \(\widehat {AOP},\,\widehat {BOP}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOP} + \,\widehat {BOP} = {180^0}\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra

\(\begin{array}{l}\widehat {MON} = \widehat {MOP} + \widetilde {PON} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {MOP} + \widehat {PON} + \widehat {NOB}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOP} + \widehat {POB}} \right) = \frac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\,\,\left( 3 \right).\end{array}\)

Ta lại có \(\widehat {APB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {APB} = {90^0}\,\,\left( 4 \right).\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến ta có

\(NB \bot ON \Rightarrow \widehat {OBN} = {90^0},\,\,NP \bot OP \Rightarrow \widehat {OPN} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OBN} + \widehat {OPN} = {180^0}.\)

Do đó tứ giác \(OBNP\) là tứ giác nội tiếp. Từ đó \(\widehat {OBP} = \widehat {PNO}\,\,\left( 5 \right).\)

Từ \(\left( 3 \right),\,\,\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra hai tam giác vuông \(APB\) và \(MON\) đồng dạng với nhau.

Chọn đáp án A.