Cho hai đường tròn bằng nhau \(\left( O,R \right)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({{S}_{1}}\) là diện tích tam giác đều AOO’Đặt \({{S}_{2}}\) là diện tích hình viên phân giới hạn bởi đoạn AO và cung \(\overset\frown{AO}\)Diện tích phần giao giữa hai đường tròn là: \(S=2{{S}_{1}}+4{{S}_{2}}\)

Giải chi tiết:

 Tam giác AOO’ là tam giác đều cạnh R.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AOM, ta có:

\(AM=\sqrt{O{{M}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{3}R\)

Giả sử AH là đường cao của tam giác AOO’.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có:

\(OA.AM=AH.OM\Leftrightarrow AH=\frac{OA.AM}{OM}=\frac{R.\sqrt{3}R}{2R}=\frac{\sqrt{3}R}{2}\)

Vậy \({{S}_{1}}={{S}_{AOO'}}=\frac{1}{2}AH.\text{OO}'=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}R.R=\frac{\sqrt{3}}{4}R{}^{2}\)

Ta có \({{S}_{qOO'A}}=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{\pi {{R}^{2}}.60}{360}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{6}\)

Suy ra \({{S}_{2}}={{S}_{qOO'A}}-{{S}_{1}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}{{R}^{2}}=\left( \frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right){{R}^{2}}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{12}{{R}^{2}}\)

Diện tích phần giao giữa hai đường tròn là:

 \(\begin{align}  & S=2{{S}_{1}}+4{{S}_{2}}=2.\frac{\sqrt{3}}{4}R{}^{2}+4.\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{12}{{R}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R{}^{2}+\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{3}{{R}^{2}} \\  & =\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{3} \right)R{}^{2}=\left( \frac{4\pi -3\sqrt{3}}{6} \right)R{}^{2} \\ \end{align}\)                                    

Chọn A

.