Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1­...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Giả sử (P) tiếp xúc với (S_1­), (S_2­) lần lượt tại A,B

Gọi \(IJ\cap \left( P \right)=M\) ta kiểm tra được J là trung điểm IM do \(\frac{IA}{JB}=\frac{MI}{MJ}=2\)  suy ra \(M\left( 2;1;9 \right)\)

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right),\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\) suy ra \(\left( P \right):\,a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & d\left( I;\left( P \right) \right)={{R}_{1}}=4 \\  & d\left( J;\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=3\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c}+\frac{b}{c}+9 \right|\)

Đặt \(t=\frac{2a}{c}+\frac{b}{c}\Leftrightarrow \frac{b}{c}=t-\frac{2a}{c}\) ta được \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{1}{2}\left| t+9 \right|\)

Thay \(\frac{b}{c}=t-\frac{2a}{c}\) vào (1) ta thu được \({{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\frac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}-4\frac{a}{c}t+{{t}^{2}}-3=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}\)

Suy ra \(\frac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O;\left( P \right) \right)\le \frac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M=\frac{9+\sqrt{15}}{2};m=\frac{9-\sqrt{15}}{2}\)

Suy ra \(M+m=9\) .

Chọn B