Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), tìm tọa độ các điểm \(E,M\).

- Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: \(\sin \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}\)

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Với \(O\left( 0;0;0 \right),D\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;1;0 \right)\Rightarrow CD=CS=\sqrt{2}\Rightarrow SO=1\Rightarrow S\left( 0;0;1 \right)\)

Ta có: \(B\left( -1;0;0 \right),A\left( 0;-1;0 \right)\Rightarrow E\left( -\frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right),M\left( 0;-\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{EM}=\left( \frac{1}{2};-1;\frac{1}{2} \right)\)

Chọn \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;1 \right)\) là một véc tơ chỉ phương của \(EM\) và \(\overrightarrow{n}=\left( 0;1;0 \right)\)  là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( SBD \right):y=0\).

Khi đó \(\sin \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{\left| -2 \right|}{\sqrt{1+4+1}.1}=\frac{2}{\sqrt{6}}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan \alpha =\frac{2}{\sqrt{6}}:\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}\)

Chọn C.