Phương trình \(m{x^{2019}} + 2{x^2}\sin x + 1 = 0\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{x^{2019}} + 2{x^2}\sin x + 1\) với  \(m = 0\)  và  \(m \ne 0.\)

Giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = m{x^{2019}} + 2{x^2}\sin x + 1\).

Với \(m = 0\) thì  \(f\left( x \right) = 2{x^2}\sin x + 1\) .

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{2} \Rightarrow f\left( 0 \right)f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{2} < 0\) và do \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên   \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\)

Với \(m > 0\) thì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \) và  do  \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên   \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.

Với \(m < 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) và do  \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên   \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.

Vậy \(\forall m \in \mathbb{R}\) phương trình có nghiệm.

Chọn B.