Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) Tập hợp các đ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi đẳng thức \(2M{B^2} - M{C^2} = {a^2}\)  thông qua một véc tơ cố định

Giải chi tiết:

Xét điểm \(I:2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \) \(I\) cố định

Khi đó:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,2M{B^2} - M{C^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = {a^2}\\ \Leftrightarrow M{I^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = {a^2} + I{C^2} - 2I{B^2} = 3{a^2}\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn \(\left( {I,a\sqrt 3 } \right)\) với \(I\) chia đoạn \(BC\) theo tỉ số \(\frac{1}{2}.\)

Chọn  D