Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để p...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \({\sin ^2}x\);\({\cos ^2}x\) về \(\cos 2x\)

Đưa phương trình đã cho về dạng \(a\sin 2x + b\cos 2x = c.\)

Khi đó phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\) 

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow a.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow 4\sin 2x + 2a\cos 2x = 4 - 4a\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x + a\cos 2x = 2 - 2a\;\;\;\left( * \right)\end{array}\).

Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 + {a^2} \ge {\left( {2 - 2a} \right)^2} \Leftrightarrow 4 + {a^2} \ge 4 - 8a + 4{a^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 8a \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}.\end{array}\)

Vây \({a_{\max }} = \frac{8}{3}.\)

Chọn D