Tổng các nghiệm dương nhỏ hơn 20 của phương trình...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình của sinx

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x){\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow 5\sin x - 2 = 3\left( {1 - \sin x} \right)\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 5\sin x - 2 = 3\left( {1 - \sin x} \right)\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {5\sin x - 2} \right)\left( {\sin x + 1} \right) = 3{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x + 2} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm dương nhỏ hơn 20

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{6} + k2\pi  < 20 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{12}} < k < 3,01 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3} \right\}\\0 < \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi  < 20 \Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}} < m < 2,77 \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;\;1;\;2} \right\}\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm: \(\frac{\pi }{6} + \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) + \left( {\frac{\pi }{6} + 4\pi } \right) + \left( {\frac{\pi }{6} + 6\pi } \right) + \frac{{5\pi }}{6} + \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi } \right) + \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 4\pi } \right) = \frac{{127\pi }}{6}\)

Chọn A.