Cho phương trình \(\sin 2x - 2m\cos x = \sin x - m...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình tích.

+) Biện luận số nghiệm theo m.

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\sin 2x - 2m\cos x = \sin x - m \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - 2m\cos x = \sin x - m\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x = m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình (1): $\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.$, có 1 nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]$ là  $\frac{\pi }{3}$.

Để phương trình có đúng hai nghiệm   thuộc đoạn $\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]$ thì (2) có đúng 1 nghiệm khác $\frac{\pi }{3}$ thuộc $\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \sin \frac{\pi }{3}\\\sin 0 \le m < \sin \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$

Chọn A.