Phương trình \(4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin 3x = 1 +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng công thức \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin 3x = 1 + 3\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right) - \sqrt 3 \sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 3x - \sqrt 3 \sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x =  - \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3}\end{array} \right.,\;\;k,\;m \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Ta tìm được:

Nghiệm dương bé nhất khi: \(m = 1 \Rightarrow a = \frac{{ - 2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{9}\)

Nghiệm âm lớn nhất khi: \(m = 0 \Rightarrow b = \frac{{ - 2\pi }}{9}\)

Vậy: \(\frac{a}{b} = \frac{{\frac{{4\pi }}{9}}}{{\frac{{ - 2\pi }}{9}}} =  - 2\)

Chọn A.