Cho phương trình: \(\frac{{1 + \s...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình tích dựa vào công thức: \(\sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{{9\pi }}{4}} \right) = \sin 2x + \cos 2x.\)

+) Biện luận theo yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\frac{{1 + \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{{9\pi }}{4}} \right)}}{{1 + {{\cot }^2}x}} = m\sin x.\sin 2x\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \cos 2x = m\sin x.\sin 2x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \cos 2x = m\sin x.2\sin x.\cos x\left( {1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sin 2x + \cos 2x} \right){\sin ^2}x = 2m{\sin ^2}x\cos x\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \cos 2x - 2m\cos x = 0\;\;\;\left( {do\;\sin x \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2m\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\sin x + \cos x - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x + \cos x = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình (1): \( \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\)thuộc  \(\left( {0;\pi } \right)\)

Xét với \(m = 1\). Phương trình

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + m2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m2\pi \left( {ktm} \right)\\x = \frac{\pi }{2} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\)

Có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\) thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\), trùng với nghiệm của (1).

Vậy \(m = 1\) là giá trị thõa mãn.

Chọn C.