Hệ phương trình sau có các nghiệm là \(\left( {{x_...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối giải hệ phương trình trong từng trường hợp.

Giải chi tiết:

Ta có: \(8 - {x^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2}{\kern 1pt}  \Leftrightarrow 8 - {x^2} = {x^2} + 4xy + 4{y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\)

TH1: \(xy \ge 0\) thì hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} - xy + 2 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - 2xy + 4 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 0\\{y^2} - xy + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 0\\{y^2} - xy + 2 = 0\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)

TH2: \(xy < 0\) thì hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + xy + 2 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} + 2xy + 4 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8 = 0\\{y^2} + xy + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 2\sqrt 2 \\{y^2} + xy + 2 = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(x = 2\sqrt 2 \) thì \({y^2} + 2\sqrt 2 y + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {y + \sqrt 2 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y =  - \sqrt 2 \) (thỏa mãn \(xy < 0\))

Nếu \(x =  - 2\sqrt 2 \) thì \({y^2} - 2\sqrt 2 y + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {y - \sqrt 2 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \sqrt 2 \) (thỏa mãn \(xy < 0\))

Vậy hệ có các nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2\sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 2\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

Do đó \(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 8 + 8 + 2 + 2 = 20\).

Chọn A.