Cho đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và tọa độ điểm I.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {m;\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\).

+) Xác định tọa độ các điểm P, Q.

+) Nhận xét tam giác IPQ, tính diện tích tam giác IPQ.

+) Do G là trọng tâm tam giác IPQ \( \Rightarrow {S_{GPQ}} = \dfrac{1}{3}{S_{IPQ}}\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đồ thị hàm số có TCN: \(y = 2\) và TCĐ: \(x = 1 \Rightarrow I\left( {1;2} \right)\).

Gọi \(M\left( {m;\dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\). Ta có \(y' =  - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( m \right) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại M là: \(y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}}\,\,\left( d \right)\).

Cho \(x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\left( {1 - m} \right) + \dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} = \dfrac{{3 + 2m + 1}}{{m - 1}} = \dfrac{{2m + 4}}{{m - 1}} \Rightarrow P\left( {1;\dfrac{{2m + 4}}{{m - 1}}} \right)\).

Cho \(y = 2 \Rightarrow 2 = \dfrac{{ - 3\left( {x - m} \right)}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2m + 1}}{{m - 1}} = \dfrac{{ - 3x}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2{m^2} + 2m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{m^2} + 2m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - 2 = \dfrac{{6m - 3}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow x = 2m - 1 \Rightarrow Q\left( {2m - 1;2} \right)\).

Ta có \(IP \bot IQ\) nên tam giác IPQ vuông tại I, có \(IP = \left| {\dfrac{{2m + 4}}{{m - 1}} - 2} \right| = \dfrac{6}{{\left| {m - 1} \right|}};\,\,IQ = \left| {2m - 1 - 1} \right| = 2\left| {m - 1} \right|\)

\( \Rightarrow {S_{IPQ}} = \dfrac{1}{2}IP.IQ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{6}{{\left| {m - 1} \right|}}.2\left| {m - 1} \right| = 6 \Rightarrow {S_{GPQ}} = \dfrac{1}{3}{S_{IPQ}} = 2\) (Với G là trọng tâm tam giác IPQ).

Chọn A.