Có hai vật nhỏ M1 và M2,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Chọn gốc toạ độ tại A. Hệ quy chiếu như hình vẽ.

Vật 1: 

\(\left\{ \matrix{ {x_1} = {v_1}t \hfill \cr {y_1} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vật 2: 

\(\left\{ \matrix{ {x_2} = a - {v_2}c{\rm{os}}\alpha t \hfill \cr {y_1} = {v_2}\sin \alpha t \hfill \cr} \right.\)

Khoảng cách hai vật M₁ và M₂: \({d_{12}} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

Đặt \(f(t) = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\)

d_12min khi f (t)_min

Ta có: \(f(t) = {\left[ {a - \left( {{v_1} + {v_2}c{\rm{os}}\alpha } \right)t} \right]^2} + {({v_2}\sin \alpha t)^2} = \left( {{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2{v_1}{v_2}c{\rm{os}}\alpha } \right){t^2} - 2a({v_1} + {v_2}c{\rm{os}}\alpha )t + {a^2}\)

f(t) là phương trình bậc hai có hệ số lớn hơn 0

Suy ra: \(f{(t)_{\min }} = {{{{\left[ {2a({v_1} + {v_2}c{\rm{os}}\alpha )} \right]}^2} - 4{a^2}\left( {{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2{v_1}{v_2}c{\rm{os}}\alpha } \right)} \over {4\left( {{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2{v_1}{v_2}c{\rm{os}}\alpha } \right)}} = {{{a^2}{v_2}^2 - {a^2}{v_2}^2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2{v_1}{v_2}c{\rm{os}}\alpha }}\)

Khi \(t = {{2a({v_1} + {v_2}c{\rm{os}}\alpha )} \over {2\left( {{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2{v_1}{v_2}c{\rm{os}}\alpha } \right)}} = {{a({v_1} + {v_2}c{\rm{os}}\alpha )} \over {\left( {{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2{v_1}{v_2}c{\rm{os}}\alpha } \right)}}\)

Thay v₁ = 2v; v₂ = v ta được:

\(\left\{ \matrix{ f{(t)_{\min }} = {{{a^2}{{\sin }^2}\alpha } \over {5 + 4c{\rm{os}}\alpha }} \hfill \cr t = {{a(2 + c{\rm{os}}\alpha )} \over {5v + 4v\cos \alpha }} \hfill \cr} \right. \to \left\{ \matrix{ {d_{12\min }} = \sqrt {f{{(t)}_{\min }}} = \sqrt {{{{a^2}{{\sin }^2}\alpha } \over {5 + 4c{\rm{os}}\alpha }}} \hfill \cr t = {{a(2 + c{\rm{os}}\alpha )} \over {5v + 4v\cos \alpha }} \hfill \cr} \right.\)