Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vu...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt một cạnh có liên quan là x và thiết lập biểu thức thể tích theo x để tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SMA) ⇒ BC ⊥ SM

Vẽ AH ⊥ SM tại H ⇒ AH ⊥ (SBC)

⇒ AH = 3

Thể tích S.ABC nhỏ nhất ⇔ S_SBC nhỏ nhất

Đặt MB = MC = MA = x (do ∆ ABC vuông cân tại A)

∆ SAM vuông tại A nên \(HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{x^2} - 9} ;SM = \dfrac{{A{M^2}}}{{HM}} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\)

Có \({S_{SBC}} = \dfrac{1}{2}SM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}.2x = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\) với x > 3. Ta có

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 9}  - \dfrac{{{x^4}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{2{x^4} - 27{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)\sqrt {{x^2} - 9} }} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{27}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\)

\(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {3;\dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right);f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\dfrac{{3\sqrt 6 }}{3}; + \infty } \right)\)

Vậy min f(x) đạt được khi \(x = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\)

Góc α là góc SMA nên ta có \(\cos \alpha  = \dfrac{{HM}}{{MA}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 9} }}{x} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn B.