Một hình nón có đường sinh bằng \(3cm\) và góc ở đ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi SI là đường cao của hình nón.

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt mặt nón theo thiết diện (SBC).

Gọi H là trung điểm của BC ta có:\(IH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Tam giác SBC có: \(SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\)cân tại S\( \Rightarrow SH \bot BC\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng đáy của hình nón ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = BC\\\left( \alpha  \right) \supset SH \bot BC\\\left( \beta  \right) \supset IH \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;IH} \right)} = \widehat {SHI} = {60^0}\)

 Ta có: \(SA = SB = 3a\)

Xét tam giác vuông cân SAB có: \(AB = SA\sqrt 2  = 3\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow SI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {cm} \right)\)(trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = \dfrac{{SI}}{{\sin 60}} = \dfrac{{\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 6 \,\,\left( {cm} \right)\)

Xét tam giác vuông SHB có: \(HB = \sqrt {S{B^2} - S{H^2}}  = \sqrt {9 - 6}  = \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow BC = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)

Vậy \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SH.BC = \dfrac{1}{2}\sqrt 6 .2\sqrt 3  = 3\sqrt 2 \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)  

Chọn D.