Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng d là:

\(\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m - 1 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - 4m + 8 > 0\\1 - m + 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 12 > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của (*) \( \Rightarrow A\left( {{x_1};{x_1} + m - 1} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{x_2} + m - 1} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m + 2\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).

Theo đề bài ta có: \(AB = 2\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 6\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt {10} \left( {tm} \right)\\m = 4 - \sqrt {10} \left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.