Phương trình \(4{\sin ^2}{x \over 2} - 3\sin x + 2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(\sin x=2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}\).

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos \dfrac{x}{2}=0\,\,\left( \sin \dfrac{x}{2}=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos \dfrac{x}{2}\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}\).

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(4{\sin ^2}{x \over 2} - 3\sin x + 2 = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}{x \over 2} - 6\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} + 2 = 0\)

Trường hợp 1: \(\cos {x \over 2} = 0 \Leftrightarrow {x \over 2} = {\pi  \over 2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}{x \over 2} = 1\)

Thay vào phương trình ta có:\(4.1 - 2.0 + 2 = 0 \Leftrightarrow 6 = 0\,\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

\(\Rightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos {x \over 2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}{x \over 2}\) ta được:

\(\eqalign{ & 4{{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}} - 6{{\sin {x \over 2}} \over {\cos {x \over 2}}} + {2 \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}} = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{\tan ^2}{x \over 2} - 6\tan {x \over 2} + 2\left( {1 + {{\tan }^2}{x \over 2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{\tan ^2}{x \over 2} - 6\tan {x \over 2} + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}{x \over 2} - 3\tan {x \over 2} + 1 = 0 \cr} \)

Đặt \(\tan {x \over 2} = t\) khi đó phương trình có dạng:  \(3{t^2} - 3t + 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {3^2} - 4.3 =  - 3 < 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.

Chọn D.