Giải phương trình  \(4{\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x - 3...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{3}}x\).

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \sin x =  \pm 1\)

Thay \(\sin x = 1\) vào phương trình ta có:\(4.1 - 3.0 - 3.1 - 1.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {Vô \, lý } \right)\)

 Thay \(\sin x =  - 1\) vào phương trình ta có:\(4.\left( { - 1} \right) - 3.0 - 3.\left( { - 1} \right) - 1.0 = 0 \Leftrightarrow  - 1 = 0\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\eqalign{ & 4{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^3}x}} + 3 - 3{{\sin x} \over {\cos x}}{1 \over {{{\cos }^2}x}} - {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 3 - 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 3 - 3\tan x - 3{\tan ^3}x - {\tan ^2}x = 0 \Leftrightarrow {\tan ^3}x - {\tan ^2}x - 3\tan x + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x\left( {\tan x - 1} \right) - 3\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{\tan x =  1 \hfill \cr \tan x = \sqrt 3 \hfill \cr \tan x = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr x = - {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Chọn D.