Nguyên hàm của hàm số \(I = \int {\cos 2x\ln \left...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng công thức nhân đôi \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\), bằng cách đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\) ta đưa nguyên hàm ban đầu về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Lưu ý khi trong nguyên hàm có hàm ln và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u bằng hàm ln.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)  \cr   &  \Rightarrow I = \int {\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx}  \cr} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\) , khi đó ta có:\(I = \int {t\ln tdt} \)

Đặt

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  u = \ln t \hfill \cr   dv = tdt \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = {1 \over t}dt \hfill \cr   v = {{{t^2}} \over 2} \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow I = {1 \over 2}{t^2}\ln t - {1 \over 2}\int {tdt}  + C = {1 \over 2}{t^2}\ln t - {{{t^2}} \over 4} + {C_1}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - {{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \over 4} + {C_1}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin 2x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - {{1 + \sin 2x} \over 4} + {C_1}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - {{\sin 2x} \over 4} - {1 \over 4} + {C_1}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {{\sin 2x} \over 4} + C. \cr} \). 

Chọn C.