Kí hiệu \(\left( H \right)\) là diện tích hình phẳ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( x-1 \right){{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2\left( x-1 \right){{e}^{x}} \right)}^{\,2}}\text{d}x}=4\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{2x}}\,\text{d}x}.\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \left( {2x - 2} \right)\,{\rm{d}}x\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = - \frac{1}{2} - {I_0}\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {I_0} = \left. {\frac{{\left( {x - 1} \right){e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = \frac{1}{2} - \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{3 - {e^2}}}{4}.\)

Vậy 

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{e^2} - 5}}{4}\, \Rightarrow V = \left( {{e^2} - 5} \right)\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow P = {2.2^2} - 5 = 3.\)

Chọn A.