Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, ta tìm tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy, dựng đường // với chiều cao và cắt trung trực của chiều cao tại tâm I của hình cầu cần tìm

$R = \sqrt {{{({h \over 2})}^2} + {{(r = OA)}^2}}$.

Giải chi tiết:

Vì $\left\{ \matrix{  (SA{\rm{D}}) \bot (ABC{\rm{D}}) \hfill \cr   (SC{\rm{D}}) \bot (ABC{\rm{D}}) \hfill \cr}  \right. \to S{\rm{D}} \bot (ABC{\rm{D}}) \to \widehat {(SC,(ABC{\rm{D}}))} = \widehat {SCD} = {45^0}$

Do đó tam giác SCD vuông cân tại D nên SD = CD = 1.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta sẽ tính OD.

Áp dụng công thức:

$\eqalign{  & AC = \sqrt {1 + 1 - 2.1.1.c{\rm{os120}}}  = \sqrt 3  \to S = {{abc} \over {4{\rm{R}}}} = {1 \over 2}.1.1.\sin 120 = {{1.1.\sqrt 3 } \over {4{\rm{R}}}}  \cr   &  \Rightarrow R = OB = 1 \to O \equiv D. \cr}$

Như vậy tâm  mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là D vì DS = DA = DB = DC = 1.

Vậy $V = {4 \over 3}\pi {R^3} = {4 \over 3}\pi .$

Chọn A.