Cho phương trình \({\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về cùng cơ số, giải phương trình loga, lưu ý điều kiện xác định của phương trình.

Giải chi tiết:

Ta có \(\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 1 \Rightarrow \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{ - 1}}\), do đó phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{  & {\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {x + m - 1} \right) - {\log _{3 - 2\sqrt 2 }}\left( {mx + {x^2}} \right) = 0.  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _{3 + 2\sqrt 2 }}\left( {x + m - 1} \right) = {\log _{3 - 2\sqrt 2 }}\left( {mx + {x^2}} \right) \cr} \)

Điều kiện: \(x + m - 1 > 0 \Leftrightarrow x - 1 > m \Leftrightarrow x > 1 - m\)

\( \Leftrightarrow x + m - 1 = mx + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 - m = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình có nghiệm thực duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 - m < {x_2}\), tức là:

TH1: \(\Delta  = 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) = \left( {1 - m} \right)\left( { - 3 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 1 \hfill \cr   m =  - 3 \hfill \cr}  \right.\)

Với m = 1 ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow x + m - 1 = 0\) (loại)

Với m = -3 ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow x + m - 1 =  - 2 < 0\) (loại)

TH2 :

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  \Delta  > 0 \hfill \cr   {x_1} + m - 1 < 0 < {x_2} + m - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \Delta  > 0 \hfill \cr   \left( {{x_1} + m - 1} \right)\left( {{x_2} + m - 2} \right) < 0 \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \left[ \matrix{  m <  - 3 \hfill \cr   m > 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr   {x_1}{x_2} + \left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} < 0\,\,\left( {**} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Giải (**) ta có \(\left( {1 - m} \right) - {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow m > 1\)

Kết hợp điều kiện ta có m > 1.

Cách trắc nghiệm :

Thay trực tiếp m = 1, m = -3 vào các đáp án A và B.

Thay m = 0 ta loại đáp án C.

Chọn D.