Cho 3 điểm cố định \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng th...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Các tam giác đồng dạng, tỉ lệ các cạnh bằng nhau, tìm giao điểm của hai đường cao.

Giải chi tiết:

Phần thuận:

\(AC\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(E\).

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta BDC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ABH = \angle DBC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right);\\\angle BAH = \angle DBC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right);\\\angle BAH = \angle BDC\end{array}\)

Suy ra \(BD.BH = AB.BC\) (không đổi ) (1)

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta BHE\) có: \(\angle B\) chung; \(\angle BAD = \angle BHE\) (tứ giác \(ADHE\) nội tiếp).

Do đó \(\Delta BAD \sim \Delta BHE\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BH}} = \dfrac{{BD}}{{BE}} \Rightarrow BA.BE = BD.BH\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có \(BC = BE\).

\(E\) thuộc đường thẳng cố định \(AB\) suy ra \(E\) cố định.

\(OA = OE\) (\(O\) là tâm đường tròn \(\left( {DAH} \right)\)) nên \(O\) thuộc đường thẳng cố định, \(\left( m \right)\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AE\).

Giới hạn:

\(D\) là điểm di động trên đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(O\) chuyển động trên cả đường thẳng \(\left( m \right)\) (loại trừ điểm \(M\) là giao điểm của \(AC\) và \(\left( m \right)\)).

Phần đảo:

Vẽ \(O\) bất kì trên đường thẳng \(\left( m \right)\). Vẽ đường tròn \(\left( {O;OA} \right)\) cắt đường thẳng \(\left( d \right)\) lần lượt tại \(H\) và \(D\).

\(OA = OE\) nên \(E \in \left( {O;OA} \right)\).

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BHE\) có: \(\angle B\) chung; \(\angle BAD = \angle BHE\) (tứ giác \(ADHE\) nội tiếp).

Do đó \(\Delta BAD \sim \Delta BHE \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BH}} = \dfrac{{BD}}{{BE}} \Rightarrow BA.BE = BD.BH\).

Mà \(BE = BC\) do đó \(BA.BC = BD.BH\) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BH}}{{BC}}\).

Xét \(\Delta BAH\) và \(\Delta BDC\) có: \(\angle ABH = \angle DBC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\), \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BH}}{{BC}}\).

\( \Rightarrow BAH \sim \Delta BDC\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle BAH = \angle BDC\).

Tam giác \(ADC\) có \(DB \bot AC,\,\,\) ,  suy ra H là trực tâm của tam giác .

Kết luận : Tập hợp các điểm O của đường tròn ngoại tiếp tác giác \(DAH\) là đường trung trực \(\left( m \right)\) của đoạn thẳng \(AE\) (trừ điểm \(M\) là giao điểm của \(AC\) với \(\left( m \right)\) (với \(E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B\)).