Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình \(\fr...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Quy đồng, thêm bớt để đưa vế trái về dạng tích sau đó sử dụng phương pháp ước số.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow xy - 3\left( {x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow xy - 3x - 3y + 9 = 9 \Leftrightarrow x\left( {y - 3} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = 9\end{array}\)

Vế trái của phương trình là tích của hai số nguyên (Do \(x,y \in \mathbb{Z}\)). Từ đó suy ra \(x - 3\) và \(y - 3\) phải là ước của 3.

Vì \(U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\) nên ta có bảng sau:

Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là \(\left( {4;12} \right);\,\,\left( {6;6} \right);\,\,\left( {12;4} \right)\).

Chọn D.