Cho đường tròn \(\left( O \right)\)  đường kính \(...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Xét \(\Delta AEO\) có \(I\)  là trung điểm của AO, mặt khác \(CD\, \bot EO\) nên \(EI \bot EO\)

nên EI đồng thời là đường trung tuyến và đường cao của \(\Delta AEO\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AEO\) cân tại E

Xét \(\Delta AEO\) và \(\Delta AOM\) có:

Đều là 2 tam giác cân tại E và O

Chung góc \(\angle MAO\)

\( \Rightarrow \Delta AEO \sim \Delta AOM\)
\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{{AO}}{{AM}}\) (tính chất)

\( \Rightarrow AE.AM = AO.AO = {R^2}\) (đpcm)

Vậy \(AE.AM = {R^2}\)

2) Xét \(\Delta COI\) vuông tại I nên \(C{I^2} + O{I^2} = C{O^2}\)

\( \Rightarrow C{I^2} = C{O^2} - O{I^2} = {R^2} - {(\frac{1}{2}R)^2} = \frac{3}{4}{R^2}\) (định lí Pytago)

\( \Rightarrow CI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Xét \(\Delta CBI\) vuông tại I có \(\tan (\angle BCI) = \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{3/2R}}{{\sqrt 3 /2R}} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \angle BCI = {60^0}\,hay\,\angle BCD = {60^0}\)

Vậy \(\angle BCD = {60^0}\)

3) Có \(\angle BCD = {60^0}\) suy ra \(\Delta BCD\) đều

\( \Rightarrow \angle CBD = {60^0} \Rightarrow \angle CMD = {60^0}\) (cùng chắn cung CD)

Lấy N thuộc MD sao cho \(MN = MC\)

Nên \(\Delta MCN\) có \(MN = MC\) và \(\angle CMD = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta MCN\) đều

Xét \(\Delta CND\) và \(\Delta CMB\) có

\(\angle CDN = \angle CBM\) (cùng chắn cung CM)

\(CN = CM\)

\(\angle DCN = \angle BCM( = {60^0} - \angle BCN)\)

\( \Rightarrow \Delta CND = \Delta CMB\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DN = MB\) (tc)

Có: \(MB + MC + MD = MN + DN + MD + 2MD \le 2.2R = 4R\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm chính giữa cung BC.

Vậy M nằm chính giữa cung BC thì \((MB + MC + MD)\) đạt max.