Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = {x^2} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp miền giá trị. Chú ý: phương pháp miền giá trị trong bài này không cần tìm dấu “=” xảy ra khi nào.

Giải chi tiết:

Thay \(x = P - 2y\) vào \(x + y = {x^2} + {y^2} + xy - 1\):

\(\begin{array}{l}P - 2y + y = {\left( {P - 2y} \right)^2} + {y^2} + \left( {P - 2y} \right)y - 1\\ \Leftrightarrow 3{y^2} + \left( {1 - 3P} \right)y + {P^2} - P - 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)

\(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {1 - 3P} \right)^2} - 4.3.\left( {{P^2} - P - 1} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{P^2} + 6P + 13 \ge 0 \Leftrightarrow 3{P^2} - 6P + 3 \le 16\\ \Leftrightarrow 3{\left( {P - 1} \right)^2} \le 16 \Leftrightarrow {\left( {P - 1} \right)^2} \le \dfrac{{16}}{3}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} \le P - 1 \le \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3} \le P \le \dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)  

Vậy GTLN và GTNN của \(P\) là \(\dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\) và \(\dfrac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3}\).