Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 9\,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\) và \(D\) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) với \(AB.\)

- Tính \(BC\).

- Sử dụng công thức \(AD = \dfrac{{AB + AC - BC}}{2}\) tính \(AD\).

- Gọi \(N\) là giao điểm của \(BI\) và \(AC,\) áp dụng định lí Ta-lét tính \(\dfrac{{IG}}{{MN}}\).

- Sử dụng tính chất đường phân giác và tính chất dãy tỉ số bằng nhau tính \(NA\), từ đó tính được \(MN\) và \(IG\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\) và \(D\) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) với \(AB.\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) tính được \(BC = 15cm.\)

Ta có: \(AD = \dfrac{{AB + AC - BC}}{2} = \dfrac{{9 + 12 - 15}}{2} = 3cm\)\( \Rightarrow BD = AB - AD = 6cm\) 

Gọi \(N\) là giao điểm của \(BI\) và \(AC,\) ta có: \(ID\) // \(AC\) (cùng vuông góc với \(AB\)), suy ra:

\(\dfrac{{BI}}{{BN}} = \dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{BG}}{{BM}}\)\( \Rightarrow IG\) // \(MN\)\( \Rightarrow \dfrac{{IG}}{{MN}} = \dfrac{2}{3}.\)  

Ta có \(BN\) là đường phân giác của tam giác \(ABC,\) suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{NA}}{{NC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{NA + NC}} = \dfrac{3}{{3 + 5}}\\ \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{12}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow NA = 4,5cm\\ \Rightarrow MN = AM - AN = \dfrac{{AC}}{2} - AN = \dfrac{{12}}{2} - 4,5 = 1,5cm\\ \Rightarrow IG = 1cm.\end{array}\)

Chọn A.