Cho \(x = \sqrt[3]{{70 + \sqrt {4901} }} + \sqrt[3...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt[3]{{70 + \sqrt {4901} }} + \sqrt[3]{{70 - \sqrt {4901} }}\\ \Leftrightarrow {x^3} = 140 + 3\sqrt[3]{{\left( {70 + \sqrt {4901} } \right)\left( {70 - \sqrt {4901} } \right)}}\left( {\sqrt[3]{{70 + \sqrt {4901} }} + \sqrt[3]{{70 - \sqrt {4901} }}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} = 140 - 3x\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 140 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 5x + 28} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 5\,\\\left( {do\,\,\,{x^2} + 5x + 28 = {{\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{87}}{4} > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\end{array}\)

Vì vậy \(x\) là số nguyên tố.