Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nội tiếp...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Các tính chất của đường tròn, tiếp tuyến, đường phân giác của một góc.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\angle MCA = \angle MBA\,\,\left( 1 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))

Vì \(\angle HCB = \angle HKB = {90^0} \Rightarrow \angle HCB + \angle HKB = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(CHKB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle ACK = \angle HCK = \angle HBK = \angle MBA\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\)).

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MCA = \angle ACK\) hay \(CA\) là đường phân giác \(\angle MCK\) (đpcm).

b) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AP\)và \(BM.\)

Ta có: \(\dfrac{{AP.MB}}{{MA}} = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{AP.MB}}{{MA}} = OB \Leftrightarrow \dfrac{{AP}}{{MA}} = \dfrac{{OB}}{{MB}}\,\,\,\left( 3 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle PAM + \angle MAB = \angle PAB = {90^0}\\\angle OBM + \angle MAB = {90^0}\,\,\left( {\Delta AMB\,\,vuong\,\,tai\,M} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \)\(\angle PAM = \angle OBM\)( cùng phụ với \(\angle MAB\)) (4).

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \Delta PAM \sim \Delta OBM\,\,\left( {c.g.c} \right).\)

Vì \(\Delta OBM\) cân tại \(O\) nên \(\Delta PAM\)cân tại \(P\) \( \Rightarrow \angle PAM = \angle PMA\) (hai góc ở đáy).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle PEM + \angle PAM = {90^0}\\\angle PMA = \angle PAM\end{array} \right. \Rightarrow \angle PEM + \angle PMA = {90^0}.\)

Mà \(\angle PME + \angle PMA = \angle AME = {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle PEM = \angle PME \Rightarrow \Delta PME\) cân tại \(P\).

Ta có: \(\Delta PAM\) cân tại \(P \Rightarrow PA = PM\).

           \(\Delta PME\) cân tại \(P \Rightarrow PM = PE\).

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(AE.\)

Gọi \(HK \cap BP = \left\{ I \right\}\).

Vì \(HK\parallel AE\) nên áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HI}}{{EP}} = \dfrac{{BI}}{{BP}} = \dfrac{{IK}}{{PA}}\).

Mà \(PE = PA\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow HI = IK\) hay \(BP\) đi qua trung điểm của \(HK\) (đpcm).