Giải phương trình \(2\sin 2x - \left( {\sin x + \c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết:

\(2\sin 2x - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 4\sin x\cos x - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\).

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(2\left( {{t^2} - 1} \right) - t + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(t = 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(t =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin x + \cos x =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} =  \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 2k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D