Cho hình chóp S.ABCD có...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta có: \(d\left( {BC;\;SD} \right) = d\left( {BC;\;\;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\;\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right)\)  với \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Từ đó ta quy về tính \(d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right).\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\Delta SAB\)  đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(\Delta SAB\)đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Có: \(BC//AD \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {BC;\;SD} \right) = d\left( {BC;\;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\;\left( {SAD} \right)} \right)\)

Lại có: \(\frac{{BA}}{{HA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {B;\;\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right).\)

Kẻ \(HK \bot SA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow SD \bot \left( {SBA} \right) \Rightarrow SD \bot HK\\ \Rightarrow HK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right) = HK.\end{array}\)   

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SHA\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HK:\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HK = \frac{{SH.HA}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\\ \Rightarrow d\left( {BC;\;SD} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)

Chọn B.