Một con lắc đơn dao động với biên độ \({\alpha _0}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức tính độ lớn vận tốc và lực căng dây: \(\left\{ \begin{array}{l}v = \sqrt {2gl\left( {\cos \alpha  - \cos {\alpha _0}} \right)} \\T = mg.\left( {3\cos \alpha  - 2\cos {\alpha _0}} \right)\end{array} \right.\)

Công thức tính cơ năng, thế năng và động năng: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{W}} = mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)\\{{\rm{W}}_t} = mgl.\left( {1 - \cos \alpha } \right)\\{{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t}\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_t} = {{\rm{W}}_d} \Rightarrow {v_1}\\T = P \Rightarrow {v_2}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\)

Giải chi tiết:

+ Khi động năng bằng thế năng:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_t} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t}\\ \Leftrightarrow mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right) = mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right) - mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - \cos {\alpha _1} = \cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}\\ \Leftrightarrow \cos {\alpha _1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos {\alpha _0}\end{array}\)

+ Khi độ lớn của lực căng dây treo bằng trọng lực tác động lên vật:

\(\begin{array}{l}mg.\left( {3\cos {\alpha _2} - 2\cos {\alpha _0}} \right) = mg\\ \Leftrightarrow 3\cos {\alpha _2} - 2\cos {\alpha _0} = 1 \Leftrightarrow \cos {\alpha _2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.\cos {\alpha _0}\end{array}\)

+ Suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}} \right)} }} = \sqrt {\dfrac{{\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}}}{{\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}}}} \\\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}}}{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}}}}  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}}{{\dfrac{1}{3}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}}}  = \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array}\)

Chọn D.