Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({{90}^{0}}.\)

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp tương ứng.

+) Từ đó chứng minh các cặp góc bằng nhau và chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng để suy ra tỉ lệ cần chứng minh.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat{BDC}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác ADH vuông tại D

Vì M là trung điểm của AH nên \(DM=\frac{1}{2}AH=MH\Rightarrow \Delta MDH\)cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MDB}=\widehat{MHD}=\widehat{BHF}\)

Mà \(\widehat{BHF}=\widehat{BCD}\)(cùng phụ với \(\widehat{HBF}\))\(\Rightarrow \widehat{MDB}=\widehat{BCD}\)

Góc\(\widehat{BCD}\)là góc nội tiếp chắn cung BD, \(\widehat{MDB}\)là góc tạo bởi dây cung BD và đoạn DM

Do đó DM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M

\(\Rightarrow \widehat{MDE}=\widehat{ABD}\) (cùng chắn cung ED)

Xét tứ giác ABFD có \(\widehat{BFA}=\widehat{BDA}={{90}^{0}}\)⇒ Tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{AFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)\(\Rightarrow \widehat{MDE}=\widehat{AFD}\)

Xét hai tam giác MDK và MFD có \(\widehat{DMF}\)chung, \(\widehat{MDE}=\widehat{AFD}\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta MDK\sim \Delta MFD\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MD}{MF}=\frac{MK}{MD}\Rightarrow M{{D}^{2}}=MF.MK\) (đpcm)