Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt ẩn phụ cho bài toán, sau đó dùng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho.

Giải chi tiết:

Đặt a = x²; b = y² (\(a,b\ge 0\)) thì \(P=\frac{\left( a-b \right)\left( 1-ab \right)}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}{{\left( 1+b \right)}^{2}}}\).

Vì \(a,b\ge 0\) nên:\(\text{  }(a-b)(1-ab)=a-{{a}^{2}}b-b+a{{b}^{2}}\le a+a{{b}^{2}}=a(1+{{b}^{2}})\le a(1+2b+{{b}^{2}})=a{{(1+b)}^{2}}\)

Lại có \({{(1+a)}^{2}}={{(1-a)}^{2}}+4a\ge 4a\)\(\Rightarrow P\le \frac{a{{\left( 1+b \right)}^{2}}}{4a{{\left( 1+b \right)}^{2}}}=\frac{1}{4}\)

Dấu “=” xảy ra\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy \({\mathop{\rm m}\nolimits} axP = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Chọn A