Chứng minh rằng: 

- Hướng dẫn giải

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l}\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\\ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ \mathrm{...}\\ \frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2009}}=\sqrt{2009}-\sqrt{2008}\end{array}$

Thực hiện phép cộng theo vế và rút gọn, ta được:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2009}}=\sqrt{2009}-1$ (đpcm)