Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\) suy ra kết luận.

b) Chứng minh \(CB \bot \left( {SAB} \right)\) suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

c) Sử dụng phương pháp tính gián tiếp:

\(\dfrac{{d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( \alpha  \right)} \right)}} = \dfrac{{IA}}{{IH}} \Rightarrow {\rm{ }}d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{IA}}{{IH}}.d\left( {H,\left( \alpha  \right)} \right){\rm{ }}\)

Chú ý: Nếu tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và có đường cao \(OH\) thì \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\).

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\CD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot CD\).

Mà \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

Do đó tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\).

b) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\BC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\).

Mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \subset \left( {SBC} \right),AB \subset \left( {ABCD} \right)\\SB \bot BC,AB \bot BC\end{array} \right.\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AB\) hay \(\widehat {SBA}\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SBA} = {30^0}\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\).

c) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow AC \cap \left( {SBD} \right) = O\).

Mà \(AO = CO\) nên \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Dễ thấy tứ diện \(SABD\) có ba cạnh \(AB,AD,AS\) đôi một vuông góc nên gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {SBD} \right)\) thì:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{S^2}}}\) \( = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{7} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).