a)      Chứng minh rằng với mọi số thực a; b; c ta...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)\\ = {a^2} + ab + ac + ab + {b^2} + bc + ac + bc + {c^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = VP\end{array}\)

b)     Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn: \(x + y + z = \frac{1}{2};\,\,\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = 4;\,\,\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} > 0\).

Tính: \(Q = \left( {{y^{2017}} + {z^{2017}}} \right)\left( {{z^{2019}} + {x^{2019}}} \right)\left( {{x^{2021}} + {y^{2021}}} \right).\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x + y + z = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y + z}}{{xyz}} = \dfrac{1}{{2xyz}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} = \dfrac{1}{{2xyz}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{xy}} + \dfrac{2}{{yz}} + \dfrac{2}{{xz}} = \dfrac{1}{{xyz}}\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{xy}} + \dfrac{2}{{yz}} + \dfrac{2}{{xz}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{1}{{xyz}} = 4\\
\Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 2
\end{array}\)

Từ đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{x + y + z}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + yz + xz} \right)\left( {x + y + z} \right) = xyz\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - y\\y =  - z\\z =  - x\end{array} \right..\end{array}\)

Hơn nữa các mũ của Q đều là lẻ nên có ít nhất 1 thừa số bằng 0.

Vậy \(Q = 0\).