Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol \(y = {x^2}\left(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt:

+) Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Số giao điểm của (P) và (d) cũng chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

+) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt tức là phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt. Ta cần tính biệt thức \(\Delta \,\,\left( {\Delta '} \right)\) và chứng minh cho \(\Delta \,\,\left( {\Delta '} \right) > 0\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(\begin{array}{l}{x^2} = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 2m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Số giao điểm của (P) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 2m - 3} \right)\\ = {m^2} - 2m + 1 + 4{m^2} - 8m + 12\\ = 5{m^2} - 10m + 13\\ = 5\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8\\ = 5{\left( {m - 1} \right)^2} + 8 > 0,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B: \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right),\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\) mà A, B thuộc vào (P) nên \(A\left( {{x_1};x_1^2} \right);B\left( {{x_2};x_2^2} \right)\)

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 2m - 3\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB hay \(O{A^2} = O{B^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {x_1^2} \right)^2} = x_2^2 + {\left( {x_2^2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_1^4 = x_2^2 + x_2^4\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) + \left( {x_1^4 - x_2^4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {1 + x_1^2 + x_2^2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_1} =  - {x_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1 + x_1^2 + x_2^2 = 0\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) TH1: Kết hợp (3) với (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - {x_2}\\{x_1} + {x_2} = m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

+) TH2: Từ (4) ta có \(x_1^2 + x_2^2 + 1 = 0\) (vô lí vì \(x_1^2 \ge 0;\,\,x_2^2 \ge 0 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + 1 > 0\))

Kết luận: Vậy m = 1 thì tam giác OAB cân tại O.

Với m = 1 thì (d) trở thành: y = 2 là 1 đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Với m = 1 ta có: Phương trình (1) trở thành: \({x^2} - 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - \sqrt 2  \Rightarrow {y_1} = 2 \Rightarrow A\left( { - \sqrt 2 ;2} \right)\\{x_2} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_2} = 2 \Rightarrow B\left( {\sqrt 2 ;2} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 8 \)

Ta có: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OH.AB = \frac{1}{2}.2.\sqrt 8  = \sqrt 8 \left( {dvdt} \right)\)