Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AHKM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác AMK và BAH đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

c) Kéo dài HK cắt AB tại E, chứng minh E là trung điểm của AB.

Giải chi tiết:

a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

Xét tứ giác \(AHKM\) ta có: \(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\)

Mà hai góc này là góc kề cạnh \(HK\) và cùng nhìn đoạn \(AM.\)

\( \Rightarrow AHKM\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Hay bốn điểm \(A,H,\;K,\;M\) cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

b) AH.AK = HB.MK.

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMK} = \frac{1}{2}sd\\\widehat {ABH} = \frac{1}{2}sd\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AMK} + \widehat {ABH} = \frac{1}{2}\left( {sd + sd} \right)\)

Mà \(sd\overset\frown{AN}+sd\overset\frown{AM}=sd\overset\frown{MAN}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{AMK}+\widehat{ABH}={{90}^{0}}\)

Mà \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}\) (tam giác ABH vuông tại H).

\( \Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BAH}\).

Xét tam giác AMK và tam giác BAH có :

\(\begin{array}{l}\widehat {AKM} = \widehat {BHA} = {90^0}\\\widehat {AMK} = \widehat {BAH}\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMK\Delta BAH\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AK}}{{HB}} = \frac{{MK}}{{AH}} \Rightarrow AH.AK = HB.MK\end{array}\).

c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

Kéo dài HK cắt AB tại E.

Ta có \(\widehat {MAK} = \widehat {MHK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Lại có \(\widehat {MHK} = \widehat {EHB}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {EHB}\)

Do \(\Delta AMK\backsim \Delta BAH\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{MAK}=\widehat{ABH}=\widehat{EBH}\)

\( \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {EBH} \Rightarrow \Delta EHB\) cân tại E.

\( \Rightarrow EH = EB\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có \(\widehat {EBH} + \widehat {EAH} = {90^0}\) (Tam giác ABH vuông tại H)

\(\widehat {EHB} + \widehat {EHA} = \widehat {AHB} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {EHA} \Rightarrow \Delta EAH\) cân tại E \( \Rightarrow EA = EH\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow EA = EB \Rightarrow E\) là trung điểm của AB. Do A, B cố định \( \Rightarrow E\) cố định.

Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì HK luôn đi qua trung điểm của AB (đpcm).