1) Tính tất cả cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Ta cần nhận xét tinh ý: 2019 = 673. 3, 1469= 673. 2, từ đó rút gọn lại bằng cách đặt ẩn phụ.

2) Sử dụng khai triển Newton và phương pháp gọi ước chung lớn nhất của n và \(\frac{{n + 1}}{2}\)  là d.

Giải chi tiết:

1) Tính tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} + 2.\)

Đặt: \({x^{673}} = a;\;\;{y^{673}} = b\;\;\left( {a,\;b \in Z} \right)\)

Phương trình đã cho trở thành: \({a^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\;\;\;\left( * \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} = {b^3} - 3{b^2} + 3b - 1 + 2{b^2} - 4b + 3 = {\left( {b - 1} \right)^3} + \left( {2{b^2} - 4b + 3} \right) > {\left( {b - 1} \right)^3}\;\;\left( 1 \right)\)

Lại có: \({a^3} = {b^3} + 6{b^2} + 12b + 8 - 7{b^2} - 13b - 6 = {\left( {b + 2} \right)^3} - \left( {7{b^2} + 13b - 6} \right) < {\left( {b + 2} \right)^3}\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \({\left( {b - 1} \right)^3} < {a^3} < {\left( {b + 2} \right)^3} \Rightarrow b - 1 < a < b + 2\)

Vì \(a,\;b \in Z \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = b + 1\end{array} \right..\)

+) Với \(a = b\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {b^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^2} + b - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {b + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 1\\a = b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^{673}} = {y^{673}} = 1\\{x^{673}} = {y^{673}} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = y = \sqrt[{673}]{{ - 2}}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = b + 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {b + 1} \right)^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^3} + 3{b^2} + 3b + 1 = {b^3} - {b^2} - b + 2\\ \Leftrightarrow 4{b^2} + 4b - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\\b = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;1} \right).\)

2) Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt: \({S_k} = {1^k} + {2^k} + .... + {n^k}\). Chứng minh rằng \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).

Ta có ngay: \({S_1} = 1 + 2 + ....... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Ta sẽ chứng minh \({S_{2019}}\) chia hết cho n và \(\frac{{n + 1}}{2}\).

Giả sử n lẻ thì \(\frac{{n + 1}}{2}\) nguyên. Sử dụng khai triển Newton ta có:

\({a^{2k + 1}} + {b^{2k + 1}} = (a + b)({a^{2k}} - {a^{2k - 1}}.b + ..... + {b^{2k}}) \vdots \left( {a + b} \right)\)

Do vậy :

\(\begin{array}{l}2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right) = \left( {{1^{2019}} + {n^{2019}}} \right) + \left( {{2^{2019}} + {{\left( {n - 1} \right)}^{2019}}} \right) + ... + \left( {{n^{2019}} + {1^{2019}}} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\\2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right) = \left( {{1^{2019}} + {{(n - 1)}^{2019}}} \right) + \left( {{2^{2019}} + {{\left( {n - 2} \right)}^{2019}}} \right) + ... + \left( {{{(n - 1)}^{2019}} + {1^{2019}}} \right) + 2.{n^{2019}} \vdots n\end{array}\)

Do\(\left( {n;\;n + 1} \right) = 1\)  nên : \(2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right)\) chia hết cho \(n\left( {n + 1} \right).\)

Do vậy: \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chọn B.