Cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đườn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\)  của \(\left( d \right)\) và  \(\left( P \right)\)

Tìm điều kiện của m  để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-ét và hệ thức bài cho để tìm \(m\)  thỏa mãn điều kiện bài toán.

Giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} =  - 2mx - 4m \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 4m = 0\;\;\;\left( * \right)\)                       

\(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow pt\;\;\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 0\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = 4m\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;|{x_1}| + |{x_2}| = 3 \Leftrightarrow {\left( {|{x_1}| + |{x_2}|} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2|{x_1}.{x_2}| = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2|{x_1}{x_2}| = 9\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} - 2.4m + 2.|4m| = 9\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 8|m| = 9\;\;\;\left( 1 \right)\;\;\end{array}\)

+) Với \(m > 4 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 8m = 9 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{3}{2}\;\;\;\left( {ktm} \right)\)

+) Với \(m < 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m - 8m = 9 \Leftrightarrow \left( {2m - 9} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{9}{2}\\m =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m =  - \frac{1}{2}\)

Vậy với \(m =  - \frac{1}{2}\) thì \(\left( d \right)\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(|{x_1}| + |{x_2}|\; = 3.\)

Chọn A.