Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + 2b + 3c \ge 20\), tì...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận thấy dấu ”=” xảy ra khi \(a = 2,b = 3,c = 4\), ta tách các số hạng , sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si \(\left( {a + b \ge 2\sqrt {ab} \left( {a,b \ge 0} \right)} \right)\) sao cho dấu bằng xảy ra khi \(a = 2,\;b = 3,\;c = 4.\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}S = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{{2b}} + \frac{4}{c} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{{3c}}{4} + \left( {\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\frac{c}{4} + \frac{4}{c}} \right)\\ = \frac{1}{4}\left( {a + 2b + 3c} \right) + \left( {\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\frac{c}{4} + \frac{4}{c}} \right)\end{array}\)\(\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

\(\begin{array}{l} + )\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt {\frac{{3a}}{4}.\frac{3}{a}}  = 3\\ + )\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}} \ge 2\sqrt {\frac{b}{2}.\frac{9}{{2b}}}  = 3\\ + )\frac{c}{4} + \frac{4}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}  = 2\end{array}\)\(\)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{4}\left( {a + 2b + 3c} \right) + \left( {\frac{{3a}}{4} + \frac{3}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{2} + \frac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\frac{c}{4} + \frac{4}{c}} \right) \ge \frac{1}{4}.20 + 3 + 3 + 2 = 13\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b + 3c = 20\\\frac{{3a}}{4} = \frac{3}{a}\\\frac{b}{2} = \frac{9}{{2b}}\\\frac{c}{4} = \frac{4}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b + 3c = 20\\{a^2} = 4\\{b^2} = 9\\{c^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;a,\;b,\;c > 0} \right)\)\(\)

Vậy \(Min\;\;S = 13\;\;khi\;\;a = 2,\;b = 3,\;c = 4.\)

Chọn A.